Giới thiệu
PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TRƯỜNG THCS TRƯỜNG SƠN
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao bài)
Bài 1 (5 điểm).
Cho biểu thức: M = , với a ≥ 0
1. Rút gon biểu thức M.
2. Tính giá trị của biểu thức M khi a = 2010 -2.
Bài 2 (4 điểm).
1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: xy y 3x = 2.
Bài 3 (4 điểm).
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = -x2 y2 +xy 3x + 3y +2018
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD.
Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN
Bài 4 (5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN.
1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL.
2. Chứng minh ∆LMN vuông cân
3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP.
Bài 5 (2 điểm). Cho x, y là hai số dương. Chứng minh rằng :
..................................Hết....................................
PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN
TRƯỜNG THCS TRƯỜNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Hướng dẫn chấm môn toán
Câu | Nội dung | Điểm |
Câu 1 5,0 điểm | 1 (3,0đ) M = = = = |
1,0
1,0
1,0 |
2(2,0 đ) Khi a = 2010 -2 Thì m = 1 + |
1,0
1,0 | |
Câu 2 4,0 điểm | 1 (2,0đ) Ta có (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 (x2+ 9x +8)(x2 +6x + 8) = 28x2 (1) + x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) + Với x khác 0 chia hai vế (1) cho x2 ta được: (1) <=> Đặt t = (2) trở thành (t+6)(t+9) = 28 <=> t2 + 15t + 26 = 0 Với t = -2 ta có Với t = -2 ta có Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = - 13 |
0,5
0,5
0,5
0,5 |
| 2 (2,0 đ) a) Vì x,y là các số nguyên nên x-1 ,y-3 là các số nguyên Khi đó ta xét các TH sau: + + + + Vậy nghiệm nguyên của Pt là: (6;4); (2;8); (- 4;2); (0;-2) |
0,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25 |
Câu 3 4,0 điểm | a) (2®iÓm) Ta có Q = -x2 y2 +xy 3x + 3y +2018 Q = -x2 - 2x 1 y2 + 2y 1 + xy x + y -1 +2021 Q = - (x + 1)2 (y-1)2 + (x+1)(y-1) + 2021 Đặt Ta có Q = -a2 + ab b2 +2021 Q = -(a-b/2)2 3.b2/4 +2021 Vì Dấu = xảy ra khi Vậy Giá trị lớn nhất của Q là 2021 khi |
0,5 0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
0.25 |
| 2(2,0đ) Ta có ∆AMB và ∆ANC vuông cân nên MA = MB và NA = NC Nên BM + CN = AM + AN Giả sử: AB ≥AC Theo tính chất phân giác ta có ∆CDN đồng dạng ∆BDM nên Nếu I là trung điểm của MN thì AD≤ AI và AM+AN= 2AI Khi đó 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm) |
0,5
0,5
0,5 0,5 |
Câu 4 5,0điểm | 1(1,0đ) Đặt ÐACP = a => ÐACN = 900 - a ÐMCN = ÐACN - 450 = 900 - a - 450 = 450 - a = ÐLAM |
0,5 0,5 |
2(2,0đ) Do ∆ABC vuông tại A mà AM là trung tuyến nên AM = CM và AL = CN (gt) ÐMCN = ÐLAM (c/m trên) Nên ∆AML = ∆CMN => LM = MN và ÐAML = ÐCMN =>ÐLMN = 900 - ÐAML + ÐCMN = 900. Vậy tam giác ∆LMN vuông cân tại M |
1,0 1,0 | |
3 (2,0đ) Do các ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên: 2 S∆LMN = MN2 và 2 S∆ABC = AC2 S ∆ABC = 4S∆LMN (gt) Từ đó suy ra MN = Gọi Q là trung điểm của AC thì QM = QN = => ÐQMN = 600 và ÐQNA = 600 - 450 = 15 0 . Mặt khác AQ = NQ nên ÐCAP = ÐQNA = 150 |
1,0
1,0 | |
Câu 5 2,0 điểm | ®Æt xy=a>0 ,x2+4004xy+y2=b>0 khi ®ã ta cã VËy B®t ®· cho ®îc chøng minh.
|
1,0
1,0 |
Tên Chủ đề (nội dung, chương trình ) | Nhận biết | Thông hiểu | Vận dụng | Cộng | |
Cấp độ thấp | Cấp độ cao | ||||
1. Biến đổi căn thức( rút gọn, chứng minh, tính giá trị của biểu thức ) |
|
| Vận dụng các phép biến đổi căn thức để rút gọn được biểu thức chứa căn | Phối hợp các kiến thức để tìm GT của biểu thức |
|
|
|
| Bài 1.1 | Bài 1.2; 3.1 | 2 7đ 35% |
2. Phương trình vô tỉ, phương trình bậc hai, phương trình bậc cao, phương trình không mẫu mực..., hệ phương trình |
|
| Sử dụng tốt các phương pháp giải phương trình bậc hai, phương trình bậc cao, phương trình không mẫu mực |
|
|
|
|
| Bài 2.1 |
| 1 2đ 10% |
3. Chứng minh các đẳng thức hình học, các quan hệ song song, vuông góc, đồng quy, các đặc tính hình học, cực trị hình học... |
|
| Vận dụng các tính chất của các yếu tố hình học để chứng minh các đẳng thức hình học các quan hệ song song, vuông góc, đồng quy, các đặc tính hình học, cực trị hình học... | Phối hợp các mối quan hệ giữa các yếu tố hình học để tìm cực trị hình học, tìm yếu tố cố định... |
|
|
|
| Bài 4.1; 4,2 | Bài 3.2; 4.3 | 4 7đ 35% |
4. Các bài toán về số học: chứng minh chia hết, giải phương trình nghiệm nguyên, số nguyên tố, số chính phương...
|
|
| Vận dụng các tính chất số học để giải các bài toán về số học: chứng minh chia hết, giải phương trình nghiệm nguyên
|
|
|
|
|
| Bài 2.2 |
| 1 2đ 10%
|
5. Bất đẳng thức, tìm cực trị của biểu thức... |
|
|
| Phối hợp các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của biểu thức... |
|
|
|
|
| Bài 5 | 1 2đ 10% |
Tổng số câu Tổng số điểm Tổng số % |
|
| 5 10 50% | 5 10 50 % | 10 20 điểm 100% |
BẢNG MÔ TẢ
Bài 1.1 Vận dụng các phép biến đổi căn thức để rút gọn được biểu thức chứa căn
Bài 1.2 ; 3.1 Phối hợp các kiến thức để tìm GT của biểu thức
Bài 2.1 Sử dụng tốt các phương pháp giải phương trình bậc hai, phương trình bậc cao, phương trình không mẫu mực
Bài 4.1; 4,2 Vận dụng các tính chất của các yếu tố hình học để chứng minh các đẳng thức hình học các quan hệ song song, vuông góc, đồng quy, các đặc tính hình học, cực trị hình học...
Bài 3.2; 4.3 Phối hợp các mối quan hệ giữa các yếu tố hình học để tìm cực trị hình học, tìm yếu tố cố định...
Bài 2.2 Vận dụng các tính chất số học để giải các bài toán về số học: chứng minh chia hết, giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 5 Phối hợp các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của biểu thức...
Quê tôi
Xem nhiều
Truy cập
